Лекция 11. Понятие точечной и интервальной оценки

Одна из основных целей стат. обработки данных состоит в том, чтобы заменить исходное множество данных небольшим количеством характеристик. При этом важно, чтобы такое сжатие данных сохраняло по возможности в выбранных характеристиках всю существенную информацию, относящуюся к исследуемому объекту и содержащуюся в исходных данных. Упомянутые сводные характеристики являются функциями от исходных результатов наблюдения и называются статистиками.

В качестве характеристик центра группирования значений исследуемого признака в статистической практике используют несколько видов средних значений. Наиболее распространенной средней величиной является выборочная средняя

$\overline{x} = {1 \over n}\textstyle\sum_{1}^kx_in_i$

Основной и наиболее употребительной характеристикой степени рассеяния значений исследуемого признака относительно центра группирования является выборочная дисперсия

$S^2 = {1 \over n}\sum_1^k{x_i}^2n_i - (\overline{x})^2$

Выборочное среднеквадратическое отклонение имеет вид

$S = \sqrt{S^2}$

Задача 1.

Вычислить выборочную среднюю, дисперсию и среднеквадратическое отклонение тарифного разряда рабочих механического цеха по данным таблицы

Решение.

$\overline{x} = {1 \over 100}\sum_1^6x_in_i ≈ {1·4+2·6+3·12+4·16+5·44+6·18 \over 100} \approx 4,44$

$S^2 = {1 \over 100}\sum_1^6{x_i}^2n_i - (\overline{x})^2 = {1·4+4·6+9·12+16·16+25·44+36·18 \over 100} - (4,44)^2 = 1,7$

$S = \sqrt{1,70} ≈ 1,3$

Задача 2.

Вычислить выборочную среднюю, дисперсию и среднеквадратическое отклонение выработки рабочего-станочника механического цеха в отчетном году ( в процентах к предыдущему) по данным таблицы

Решение.

$\overline{x} = {1 \over 117}\sum_1^7x_in_i ≈ {85·8+95·15+105·46+115·29+125·13+135·3+145·3 \over 117} \approx 108,85$

$S^2 = {1 \over 117}\sum_1^7{x_i}^2n_i - (108,85)^2 \approx 157,87$

$S = \sqrt{160,08} ≈ 12,56$

Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание совпадает с самим оцениваемым параметром. В противном случае оценка называется смещенной.

Интервальной называется статистическая оценка, определяемая двумя числовыми значениями – концами исследуемого интервала.

Доверительным называется интервал, который с заданной вероятностью $\gamma$ покрывает неизвестное значение параметра $\varTheta$.

Надежностью, или доверительной вероятностью, оценки $\varTheta$ называется вероятность $\gamma$, с которой выполняется неравенство $|\varTheta - \varTheta^*| < \delta$; $Р(|\varTheta - \varTheta^*| < \delta) = \gamma$, где $\varTheta^*$ - статистическая оценка параметра, $\delta > 0$

Чаще всего доверительную вероятность $\gamma$ задают заранее и на нее накладывают требования быть близкой к единице. Общепринятые значения надежности: 0,95; 0,99; 0,999, которые определяются в зависимости от конкретных условий. Например, надежность $\gamma = 0,99$ означает, что мы пренебрегаем вероятностью $\alpha = 1 - \gamma = 0,01$ совершить ошибку. Вероятность $\alpha = 1 - \gamma$ называют вероятностью ошибок, или уровнем значимости. Границы доверительного интервала называют доверительными границами, или критическими значениями.

Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. Среднеквадратическое отклонение известно.

$2\varPhi(u_{max}) = \gamma$, где $u_{max}(\gamma)$ находится с помощью таблиц функции Лапласа (Табл.П.3 Стр. 267 Спирины). Тогда с вероятностью $\gamma$ можно утверждать, что искомое генеральное среднее принадлежит интервалу $(\overline{x_в} - {u_\gamma\sigma \over \sqrt{n}}; \overline{x_в} + {u_\gamma\sigma \over \sqrt{n}})$, где $\delta = {u_\gamma\sigma \over \sqrt{n}}$ есть точность оценки.

Задача 3.

Произведены некоторые испытания, результаты которых занесены в таблицу:

Известно, что они подчиняются нормальному закону распределения с $\sigma = 2$. Найти оценку $m$ для математического ожидания $m^*$, построить для него 90% доверительный интервал.

Решение.

1. Найдем $m^* = { -25+34-20+10+21\over 5} = 4$ как среднее значений варианты $х$.
2. По доверительной вероятности определим аргумент функции Лапласа (Табл.П.3 Стр. 267 Спирины): $2\varPhi(u_{0,9}) = 0,9$, $\varPhi(u_{0,9}) = 0,45$ $u_{0,9} = 1,65$.
3. Тогда точность оценки равна $\delta = {u_\gamma\sigma \over \sqrt{n}} = { 1,65·2 \over \sqrt{5}} = 1,47$.
4. Доверительный интервал для $m$ имеет вид 4-1,47 < $m$ < 4+1,47, или 2,53 < $m$ < 5,47.

Ответ: $m$ϵ(2,53 ; 5,47).

Задача 4.

По известным $n$ и $\gamma$ с помощью функции Лапласа найдите доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания $m$ с заданной надежностью, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально: $\sigma = 3$; $\overline{x_в} = 6,1$; $n$ = 50$; \gamma$ = 0,95.

Решение.

По доверительной вероятности определим аргумент функции Лапласа (Табл.П.3 Стр. 267 Спирины) $2\varPhi(u_{0,95}) = 0,95$, $\varPhi(u_{0,95}) = 0,475$

$u_{0,95} = 1,96$.

1. Тогда точность оценки равна $\delta = {u_\gamma\sigma \over \sqrt{n}} = { 1,96·3 \over \sqrt{5}} = 2,63$.
2. Доверительный интервал для m имеет вид 6,1 - 2,63 < $m$ < 6,1+2,63, или 3,47 < $m$ < 8,73.

Ответ: $m$ϵ(3,47; 8,73).