Лекция 8. Числовые характеристики ДСВ

Для описания ДСВ иногда удобней пользоваться не законом распределения, а числовыми характеристиками: модой, медианой, математическим ожиданием, дисперсией и среднеквадратическим отклонением.

Модой ДСВ (будем обозначать $Мо(х)$) называется такое значение ДСВ, вероятность которой наибольшая. В задаче 1 лекции 7 $Мо(х) = 7$. Ряд распределения может не иметь моды. В некоторых случаях несколько мод.

Медианой ДСВ (будем обозначать $Ме(х)$) называется среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ. Если в ряду нечетное число значений, то номер места $n$ вычисляется по формуле $n = {N+1 \over 2}$, где N - количество элементов в ряду распределений.

Если в ряду четное число значений, то медианой является среднее арифметическое двух значений, расположенных в середине ряда.

Задача 1.

Заработная плата работников учреждения задана рядом распределений:

Найдите моду и медиану ДСВ Х.

Решение.

Мода (самая «модная» заработная плата) равна 57, $Мо(х) = 57$.

то $Ме(х) = 54$.

Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений значений случайных величин на их вероятности (обозначается $М(х)$):

$М(х) = \textstyle\sum_ix_ip_i$.

Бытовой и практический смысл математического ожидания – это среднее значение ДСВ.

Найдем математическое ожидание.

$М(х) = 52·0,25 + 53·0,125 + 54·0,125 + 56·0,125 + 57·0,375 = 54,75$

Задача 2.

Контролеры проводили проверку качества изготовления болтов двумя бригадами. Отклонение длины болта от заданных размеров (стандарта) в десятых долях миллиметра для каждой из бригад есть случайные величины $X_1$ и $X_2$ соответственно, заданы таблично

Какая бригада работает лучше?

Решение.

Сравним математические ожидания двух СВ $X_1$ и $X_2$.

$М(X_1) = -10·0,0625 + (-6)·0,125 + (-2)·0,25 + 1·0,0625 + 3·0,25 + 5·0,0625 + 8·0,125 +$ $+ 10·0,0625 = 0,875$ $М(X_2) = -2·0,25 + (-1)·0,25 + 0·0,0625 + 2·0,0625 + 3·0,125 + 4·0,125 + 5·0,125 = 0,875$

Можно ли по полученным результатам сделать вывод о качестве работы этих бригад?

Равные математические ожидания «уравняли» явно различное качество работы этих бригад. Вывод: недостаточно знаний одного математического ожидания.

Чтобы определить степень сосредоточенности ДСВ вокруг ее математического ожидания, надо найти среднее отклонение СВ от ее математического ожидания.

Дисперсией ДСВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины Х от ее математического ожидания.

Формула для вычисления дисперсии

$D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2$

Дисперсия - всегда неотрицательная величина.

Среднеквадратическим отклонением СВ Х называется корень квадратный из дисперсии этой СВ:

$σ(x) = \sqrt{D(x)}$.

В задаче 2 найдем $D_1(x)$ и $D_2(x)$

Для первой бригады

$M(x^2) = 100·0,0625 + 36·0,125 + 4·0,25 + 1·0,0625 + 9·0,25 + 25·0,0625 + 64·0,125 + 100·0,0625 = 29,875$

$D(x) = 29,875 - 0,875^2 ≈ 29,109375$

$σ(x)= \sqrt{29,109375} ≈ 5,395$

Для второй бригады

$M(x^2) = 4·0,25 + 1·0,25 + 0·0,0625 + 4·0,0625 + 9·0,125 + 16·0,125 + 25·0,125 = 7,75$

$D(x) = 7,75 - 0,875^2 ≈ 6,984$

$σ(x) = \sqrt{6,984} ≈ 2,643$

Ответ: вторая бригада работает лучше.

Задача 3.

Случайная величина Х задана рядом распределения

Определите числовые характеристики ДСВ Х: моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение.

$Мо(х) = 8$,

$Ме(х) = 5$,

$М(x) = 2·0,21 + 3·0,15 + 5·0,18 + 8·0,25 + 11·0,21 = 6,08$ ,

$M(x^2) = 4·0,21 + 9·0,15 + 25·0,18 + 64·0,25 + 121·0,21 = 48,1$ ,

$D(x) = 48,1 - 6,08^2 ≈ 11,1336$,

$σ(x) = \sqrt{11,1336} ≈ 3,34$.