Лекция 6. Формулы Байеса и Бернулли

Пусть произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило.

Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероятностей гипотез $H_i$, вычислив $Р(H|А)$. По теореме произведения зависимых событий вероятность одновременного осуществления и события А, и гипотезы $H_i$ равна:

$P(A· H_i) = Р(А) · Р(H_i|А) = Р(H_i) · Р(A|H_i)$. Откуда:

$Р(H_i|А) = {Р(H_i) · Р(A|H_i) \over P(A)}$, вычислив $Р(А)$ по формуле полной вероятности получим:

$Р(H_i|А) ={Р(H_i) · Р(A|H_i) \over {\textstyle\sum_{1}^n Р(H_i) · Р(A|H_i)}}$

Эту формулу называют формулой Байеса (Бейеса). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилось событие А.

Задача 1.

В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе 5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником? Вызванный наугад студент оказался отличником. Найти вероятность того, вызванный наугад студент оказался отличником из первой группы $Р(H_1|А)$.

Решение.

Вероятность $Р(A|H_1)$ события «вызван студент-отличник при условии, что он является отличником из первой группы». Аналогично вероятность $Р(А|H_2)$ из второй группы. По формуле Байеса получаем:

$Р(H_1|А) = {Р(H_1) · Р(A|H_1) \over {P(H_1) · Р(A|H_1) + P(H_2) · Р(A|H_2)}} = { 0,4 · 0,25 \over {0,4 · 0,25 + 0,6 · 0,2}} ≈ 0,45$

Ответ: 0,45

Задача 2.

Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 30% - другие банки, остальное – физические лица. Вероятности невозврата кредита соответственно равны: 0,01; 0,05; 0,2. Найти вероятность невозврата очередного кредита.

Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но имя клиента плохо пропечатано. Какова вероятность того,что кредит не возвращает другой банк?

Решение.

Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть $H_1$ означает, что запрос поступил от государственного органа, $H_2$ -от банка, $H_3$ - от физического лица и событие А – невозврат рассматриваемого кредита.

Тогда $Р(А) = Р(H_1) · Р(А|H_11) + Р(H_2) · Р(А|H_2) + Р(H_3) · Р(А|H_3) =$ $= 0,1·0,01 + 0,3·0,05 + 0,6·0,2 = 0,136$.

Вероятность того, что данный кредит не возвращает другой банк, найдем по формуле Байеса:

$Р(H_2|А) = {P(H_2) · P(A|H_2) \over P(A)} ={0,015 \over 0,136} ≈ 0,11$.

Ответ: 0,11

Чтобы ответить на вопрос: «Какова вероятность появления события ровно $m$ раз при $n$ испытаниях?» применяется формула Бернулли

$P_n^m = C_n^m · p^m · q^{n-m}$

где $p$ – вероятность появления события при одном испытании,

$q$ - вероятность непоявления события при одном испытании.

Формула Бернулли справедлива только для тех независимых испытаний, в которых вероятность $p$ события A сохраняется постоянной.

Задача 3.

Вероятность того, что лампа перегорит после 1000 часов работы, равна 0,8.

• а)Какова вероятность того, что, проработав 1000 часов, три из пяти ламп будут продолжать гореть?
• б)Найти вероятность того, что из пяти ламп не менее трех будут гореть.

Решение.

• a) По условию задачи работа каждой лампы в течение 1000 часов – испытание, поэтому $n = 5$. Событие А – работа трех ламп происходит в трех испытаниях, т.е. $m = 3$. В одиночном испытании вероятность того, что лампа перегорит, равна $р = 0,8$, а вероятность того, что лампа будет гореть равна $q = 1 – 0,8 = 0,2$. По формуле Бернулли

$Р(А) = P_5(3)= {5! \over 3!·2!} · 0,2^3 · 0,8^2 = 10 · 0,008 · 0,64 = 0,0512$.

• б) Обозначим через В событие «из пяти ламп не менее трех будут гореть».

Условие «не менее трех будут гореть» означает, что могут гореть или три лампы (событие $A_3$ ), или четыре лампы (событие $A_4$), или пять ламп (событие $A_5$). Тогда по формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем: $Р(В) = Р(A_3) + Р(A_4) + Р(A_5)$.

Так как вероятности каждого из этих событий находится по формуле Бернулли

$Р(A_3) = P_5(3) = {5! \over {3!·2!} } · 0,2^3 · 0,8^2 = 10·0,008·0,64 = 0,0512$

$Р(A_4) = P_5(4) = {5! \over {4!·1!} } · 0,2^4 · 0,8^1 = 0,0064$

$Р(A_5) = P_5(5) = {5! \over {5!·0!} } · 0,2^5 · 0,8^0 = 0,00032$

$Р(В) = 0,0512+0,0064+0,00032 = 0,05792 ≈ 0,06$

Ответ: 0,0512; 0,06

Итак, применение формулы Бернулли предполагает выполнение ряда условий:

• число опытов фиксировано и ограничено;
• опыты независимы;
• результатом испытания может быть лишь один из двух взаимно исключающих исходов (успех или неуспех);
• вероятность успеха в каждом опыте одна и та же.

Если число испытаний в Схеме Бернулли велико, то вычисление вероятностей по точной формуле $P_n^m = C_n^m · p^m · q^{n-m}$ становится затруднительным. Поэтому возникает задача замены точной формулы приближенными.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если в $n$ независимых испытаниях событие $А$ происходит с постоянной вероятностью, которая не очень близка к 0 и 1, то при достаточно большом количестве испытаний вероятность того, что событие $А$ произойдет $m$ раз, приближенно равна $P_n(m) ≈ {\varphi(x) \over \sqrt{npq}}$, где $\varphi(x) = {1 \over \sqrt{2\pi}}e^{-{x^2 \over 2}}$ , $x = {m-np \over \sqrt{npq}}$. Для функции $\varphi(x)$ составлена таблица ее значений, которая публикуется в справочной литературе (см. приложение 1).

Задача 4.

Вероятность невозврата кредита заемщиком по договоренности составляет 2%. Какова вероятность того, что из 600 заемщиков не вернут кредит по договору 20 человек?

Решение.

Используем локальную формулу Муавра-Лапласа. При $n = 600$; $m = 20$; $p = 0,02$; $q = 0,98$ найдем

1. $x ={20-600·0,02 \over \sqrt{600·0,02·0,98}} \approx 2,33$;
2. найдем значение функции $\varphi(x) = {1 \over \sqrt{2\pi}}e^{-{x^2 \over 2}}$ для $x = 2,33$ по таблице приложения 1: $\varphi(2,33) \approx 0,026$;
3. считаем искомую вероятность: $P_{600}(20) \approx {\varphi(x) \over \sqrt{npq}} \approx {0,026 \over \sqrt{600·0,02·0,98}} \approx {0,026 \over 3,43} \approx 0,00758$

Ответ: 0,00758

Интегральная формула Лапласа

Если в $n$ независимых испытаниях событие А происходит с постоянной вероятностью $p$, которая отличается от 0 и 1, то при достаточно большом значении $n$ вероятность того, что частота $m$ события $А$ находится в интервале $[m_1; m_2]$, приближенно равна

$P_n(m_1 \leq m \leq m_2) \approx \varPhi(x_2) - \varPhi(x_1)$,

где $\varPhi(x) = {1 \over \sqrt{2\pi}}\int_0^xe^{-{t^2 \over 2}}dt$, причем $x_1 = {m_1-np \over \sqrt{npq}}$, $x_2 = {m_2-np \over \sqrt{npq}}$. Функция $\varPhi(x)$ называется функцией (интегралом) Лапласа. Она принимает значения в интервале (-0,5; 0,5) и $\varPhi(-x) = -\varPhi(x)$, т.е. она нечетная.

Таблица значений функции Лапласа приведена в приложении 2.

Задача 5.

В каждом из 700 независимых испытаний на брак появление стандартной лампочки происходит с постоянной вероятностью 0,65. Найдите вероятность того, что при таких условиях появление бракованной лампочки произойдет чаще, чем в 230 испытаниях, но реже, чем в 270 случаях.

Решение.

Пусть А – появление бракованной лампочки. По условию задачи $n = 700$; $p = 1-0,65 = 0,35$; $q = 0,65$. Применим интегральную формулу Лапласа:

$x_1 = {230-700·0,35 \over {700·0,35·0,65}} = {-15 \over 12,6} = -1,19$; $x_2 = {270-700·0,35 \over {700·0,35·0,65}} = {25 \over 12,6} = 1,98$

Значения функции Лапласа при $x = -1,19$ и $x = 1,98$ возьмем из таблицы приложения 2

$\varPhi(x_1) = \varPhi(-1,19) = -\varPhi(1,19) = -0,383$;

$\varPhi(x_2) = \varPhi(1,98) = 0,476$;

Искомая вероятность

$P_{700}(230 \leq m \leq 270) \approx \varPhi(x_2) - \varPhi(x_1) = 0,476 + 0,383 = 0,859$

Ответ: 0,859