Лекция 5. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий $А + В$ называется событие, состоящее в появлении события $А$ или $В$ или обоих этих событий.

Теорема 1.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

$Р(А+В) = Р (А) + Р (В)$.

Данную строку можно прочитать следующим образом: вероятность появления события А или В, или обоих этих событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для нескольких несовместных событий формула (1) имеет вид:

$Р(А_1+ А_2+ … + А_k) = Р(А_1) + (А_2) +…+ Р(А_k)$.

Теорема 2.

Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.

$Р(А_1) + (А_2) +…+ Р(А_k) = 1$

Задача 1.

Студент после занятий может пойти: домой с вероятностью $р_1=0,4$, в библиотеку с вероятностью $р_2= 0,1$, в спортзал с вероятностью $р_3=0,2$ и в кино с вероятностью $р_4=?$. Определить $р_4$.

Решение.

Эти четыре события несовместны и образуют полную группу. Сумма вероятностей событий $p_1, p_2, p_3$ равна:

$р_1 + р_2 + р_3 = 0,4 + 0,1 + 0,2 = 0,7$.

По формуле (2) получим $p_4 = 1 - 0,7 = 0,3$.

Теорема 3.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$

Если вероятность события $Р(А)$ обозначить через $p$, а события $P(\overline{A})$ через $q$, то формулу (3) можно записать в виде:

$p + q = 1$

Задача 2.

Студент может сдать экзамен с вероятностью $р = 0,9$. Какова вероятность, что студент не сдаст экзамен?

Решение.

Эти два события противоположны и образуют полную группу.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий из (3) равна:

$q = 1– р = 0,1$.

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема 4.

Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.

$Р (А·В) = Р(А) · Р(В).$

Задача 3.

Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен $р_1 = 0,8$. Вероятность сдать второй экзамен $р_2 = 0,7$. Какова вероятность, что студент сдаст два экзамена в сессию?

Решение.

Событие А – сдать первый экзамен. Событие В – сдать второй экзамен. Оба события независимы. Событие А·В – сдать два экзамена. Вероятность сдать два экзамена вычисляется по формуле (4).

$Р(А · В) = Р(А) ·Р(В) = р_1· р_2 = 0,7 · 0,8 = 0,56$.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

$Р(А_1 · А_2 ·...· А_k) = Р(А_1) · Р(А_2) ·...· Р(А_k).$

Частным случаем совместного появления нескольких независимых событий является равенство вероятностей всех событий $Р(А_1) = Р(А_2) = ... = Р(А_k)$. Например, при бросании игральной кости, при бросании монеты.

Задача 4.

Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии:

• а) сработают оба сигнализатора;
• б) ни один сигнализатор не сработает;
• в) сработает только один сигнализатор;
• г) сработает хотя бы один сигнализатор.

Решение.

• а) Событие А – сработает первый сигнализатор, событие В – сработает второй сигнализатор. Оба события независимы. Событие А· В – сработают оба сигнализатора. Вероятность, что сработают оба, вычисляется по формуле (4)].

$Р(А · В) = Р(А) · Р(В) = р_1 · р_2 = 0,95 · 0,9 = 0,855;$

• б) Событие не сработает первый сигнализатор, Событие $\overline{B}$ - не сработает второй сигнализатор, $q_1 = p(\overline{A}) = 1 – р_1 = 0,05, q_2 = p(\overline{B}) = 1 – р_2 = 0,1$. Событие $\overline{A} · \overline{B}$ - не сработают оба сигнализатора. Вероятность, что не сработают оба, вычисляется по формуле (4).

$Р(\overline{A} · \overline{B}) = Р(\overline{A}) · Р(\overline{B}) = q_1 · q_2 = 0,05 · 0,1 = 0,005;$

• в) $Р(А · \overline{B}) = Р(А) ·Р(\overline{B}) = р_1 · q_2= 0,95 · 0,1 = 0,095$ – вероятность того, что первый сработает, а второй при этом не сработает,

$Р(\overline{A} · В) = Р(\overline{A}) · Р(В) = q1 · р2= 0,05 · 0,9 = 0,45$ – вероятность того, что первый не сработает, а второй при этом сработает. Так как по постановке вопроса нас устроит или $А · \overline{B}$ или $\overline{А} · B$, то по теореме (1)

$Р = 0,095 + 0,045 = 0,14;$

• г) сработает хотя бы один сигнализатор – значит или сработают оба, или один: 0,855 + 0,14 = 0,995;

Возможен и другой подход: «сработает хотя бы один сигнализатор» исключает из полной группы событий один случай «ни один сигнализатор не сработает», отсюда 1 - 0,005 = 0,955.

Ответ: а) 0,855; б) 0,005; в) 0,14; г) 0,995.

Задача5.

Три стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по цели с вероятностью попадания для первого стрелка 0,6; второго – 0,5 и третьего 0,8. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что:

• а) какой-нибудь один стрелок попадет в цель;
• б)ни один стрелок не попадет в цель;
• в)хотя бы один стрелок попадет в цель.

Предлагается решить самостоятельно.

Теорема сложения двух совместных событий имеет вид:

$Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А · В)$

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий $H_1, H_2, ..., H_n$, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: $Р(H_1), Р(H_2), ..., Р(H_n)$ и условные вероятности: $Р(А׀H_1), Р(А׀H_2), ..., Р(А׀H_n)$.

Требуется найти вероятность $Р(А)$.

Теорема 5.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий $H_1, H_2, ..., H_n$, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

$Р(А)= Р(H_1)·Р(А׀H_1)+ Р(H_2)·Р(А׀H_2)+…+ Р(H_n)·Р(А׀H_n).$

Выражение (6) называется формулой полной вероятности.

Задача 6.

В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе 5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад из любой группы студент окажется отличником?

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что вызванный наугад студент окажется отличником. Пусть события $H_1, H_2$ означают гипотезы (предположения), что студент соответственно из первой или из второй группы.

Вероятность гипотез, что студент соответственно из первой или второй группы: $Р(H_1) = {20 \over 30} = 0,4$. $Р(H_2) ={30 \over 50} = 0,6$. Проверка: $Р(H_1) + Р(H_2) = 1$.

Вероятность того, что выбранный студент – отличник учится в первой или второй группе по условию задачи: $Р(А|H_1) = {5 \over 20} = 0,25$. $Р(А|H_2) = {6 \over 30} = 0,2$.

Вероятность того, что вызванный наугад студент окажется отличником по формуле полной вероятности (6):

$Р(А) =Р(H_1) · Р(А|H_1)+Р(H_2) · Р(А|H_2) = 0,4·0,25 + 0,6·0,2 = 0,1+0,12 = 0,22$.

(Эта задача имеет более простое решение: в двух группах 20+30=50 человек, отличников 5+6=11 человек, искомая вероятность $Р(А) {11 \over 50} = 0,22$)

Задача 7.

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:2:3. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 85%, 90% и 95% случаев.

Определить вероятность того, что проданный торговой фирмой телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что проданный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Введем гипотезы

$Hi=\text{ телевизор поступил в торговую фирму от i-того производителя}$, $i = 1,2,3$.

По условию $Р(А|H1) = 0,85; Р(|H2) = 0,9; Р(А|H3) = 0,95$.

Согласно классическому определению вероятности, имеем

$Р(H_1) = {1 \over{1+2+3}} \approx 0,167$; $Р(H_2) ={2 \over{1+2+3}} \approx 0,333$; $Р(H_3) = {3 \over{1+2+3}} \approx 0,05$.

По формуле полной вероятности находим

$Р(А) = Р(H_1) · Р(А|H_1) + Р(H_2) · Р(А|H_2) + Р(H_3) · Р(|׀H_3) =$ $= 0,167·0,85 + 0,333·0,9 + 0,5·0,95 \approx 0,917$.

Ответ: 0,917.

Задача 8.

Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соотверственно,0.2; 0,4; 0,6. Какова вероятность, что произойдет ровно два попадания при одновременном выстреле всех трех стрелков?

Предлагается решить задачу самостоятельно.