Лекция 4. Определение вероятности. Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Одно из основных – это классическое определение. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий, т.е. элементарных исходов.

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:

$P(A) = {m \over n}$

Примеры непосредственного вычисления вероятности

Задача 1.

Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найдите вероятность того, что набрана нужная цифра. Ответ: 0,1

Задача 2.

В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.

Решение. Искомая вероятность:

$P(A)= {15 \over 25} = {3 \over 5} = 0,6$

Задача 3.

В группе 15 студентов. Из них 5 девушек и 10 юношей. Выбирают 3 студентов. Найти вероятность того, что из трёх выбранных студентов выберут одну девушку и двух юношей.

Решение. При вычислении вероятности события необходимо обратиться к разделу комбинаторики. Для данной задачи следует подсчитать различные сочетания по формуле (3.3).

Искомая вероятность:

$P(A) = {C_5^1⋅C_{10}^2 \over C_{15}^3} = {45⋅5 \over 455} = {45 \over 91}$

Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. Даже правильнее сказать, не недостатков, а ограничений.

Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов.

Задача 4.

На отрезок [0;1] наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток[0,4;0,7]?

Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу $P(A) = {m \over n}$ (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности.

Всё очень похоже: вероятность наступления некоторого события $А$ в испытании равна отношению $P(A) = {g \over Q}$, где $Q$ – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а $g$ – мера, выражающая количество благоприятствующих событию $A$ исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.

В нашей задаче $P(A)={0,7 - 0,4 \over 1-0 } = 0,3$

Задача 5 (о встрече).

Двое студентов договорились встретиться между восемью и девятью часами вечера. Каждый пришедший ждет другого в течение двадцати минут, а затем (если встреча не состоялась) уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет, если каждый из них выбирает момент своего прихода независимо от другого и не отдает предпочтения никаким моментам назначенного для встречи часа.

Решение.

Элементарным исходом (событием) в данной задаче является точка на плоскости, задающая моменты прихода двух студентов на встречу. Пусть x- момент прихода одного из них, y – момент прихода другого, которые отсчитываются в минутах, начиная с восьми часов. Тогда пространство элементарных исходов представляет собой множество точек квадрата размером 60·60: $\varOmega = \begin{cases} 0 \leq x \leq 60 \\ 0 \leq y \leq 60 \end{cases}$

Пусть событие А состоит в том, что встреча студентов состоится. Множество элементарных исходов , благоприятствующих А, есть множество точек квадрата, удовлетворяющих неравенству $|x - y| \leq 20$, то есть $А = \begin{cases} x - y \leq 20 \\ y - x \leq 20 \end{cases}$

Воспользуемся геометрическим определением вероятности, для этого вычислим площади фигур А и Ω.

$S_\varOmega = 60·60 =3600$;

$S_A = 3600 - 40·40 =2000$.

По формуле $P(A) = {g \over Q} = {2000 \over 3600} \approx 0,5555$

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

$W(A) = {m \over n}$,

где $m$ - число появлений события, $n$ - общее число испытаний.

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Задача 6. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

$W(A) = {3 \over 80}$

При статистическом определении в качестве вероятности события принимается его относительная частота. Таким образом, статистическая вероятность $P_N(A)$ появления события $A$ в $N$ испытаниях есть отношение $P_N = {N_A \over N}$ числа $N$ испытаний, в которых событие $A$ произошло, к общему числу испытаний.

Задача 7. Статистическая вероятность попадания в цель при 75 выстрелах равна 0,6. Сколько было попаданий?

Решение.

Так как $P_N = {N_A \over N}$,

где $N$ - число выстрелов, а $N_A$ — число попаданий, то $N_A = P_N·N$

Подставляя исходные данные, получим $N_A = 0,6·75 = 45$.

Ответ: 45 попаданий.

Задача 8. Для пошива школьных форм было заказано 2200 пуговиц. При проверке партии из 500 пуговиц было обнаружено 6 бракованных. Какое наименьшее количество запасных пуговиц необходимо еще заказать, чтобы исключить брак?

Решение.

Статистическая частота брака будет составлять ${6 \over 500}$, тогда среди 2200 пуговиц число бракованных $2200· {6 \over 500} = 26,4$. Округлив это число до наибольшего ближайшего целого, получим 27 пуговиц.

Ответ: чтобы исключить брак, необходимо дозаказать не менее 27 пуговиц.