Лекция 3. Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий

Различают следующие виды случайных событий: достоверные, невозможные и случайные. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С,...,Z. Достоверное событие всегда происходит в результате наблюдения или испытания. Достоверное событие обозначается символом – W.

Невозможное событие никогда не происходит в результате наблюдения или испытания. Невозможное событие обозначается символом – Æ.

Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием.

Случайное событие – это такое событие, которое в результате наблюдения или испытания может произойти, а может и не произойти.

Пример. Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог и не сдать экзамен.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, можно предсказать с небольшой погрешностью число появления герба при подбрасывании монеты большого числа раз.

Краткая историческая справка

Задача кавалера де Мере: Два игрока поставили поровну, начали игру и условились, что тот, кто раньше выиграет известное число партий, получит всю ставку. По некоторым обстоятельствам игра не могла быть окончена и прекратилась в тот момент, когда первому игроку не хватало до конца одной, а второму- двух побед. Спрашивается: «Как игроки должны поделить ставку между собой?». (Ответ: 3:1)

Эту задачу в 1654 году кавалер де Мере предложил для решения своему другу, знаменитому Блезу Паскалю. Тот решил ее и для более общего случая. Решив задачу сам, Паскаль предложил решить ее своему не менее знаменитому современнику Пьеру Ферма. Каждый из них решил задачу своим способом, и на основе этого у них завязалась переписка.

Таким образом, были положены основы математической теории вероятностей. Страстный игрок в кости кавалер де Мере так же относится к числу основателей теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял известных математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам.

Таким образом, первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытку создания теории азартных игр (XVI-XVIIвв).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именами Якова Бернулли (доказанная им теорема, получившая название «Закон больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.), Карла Гаусса, Пьера-Симона Лапласа, Абрахама де Муавра и т.д.

В XIX-XX вв теория вероятностей стала стройной математической наукой. (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Липунов и т.д.)

Случайные события

Случайные события или просто события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

В дальнейшем, «совокупность условий» будем заменять на краткое выражение «произошло испытание».

Пример: При одновременном бросании двух монет могут произойти следующие случайные события: А - «На первой монете выпал герб, на второй- решка», В - «На первой монете выпала решка, на второй - герб», С - «На двух монетах выпал герб», D - «На двух монетах выпала решка»

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример: Брошена монета. События: А - «Выпал герб» и В - «Выпала решка» являются несовместными.

Полной группой случайных событий называется группа всевозможных, равновозможных и единственно-возможных событий.

Пример. Студент может сдать экзамен на любую оценку. В данном случае возможны следующие события: студент может сдать экзамен на 5, студент может сдать экзамен на 4, студент может сдать экзамен на 3. Эти события образуют полную группу.

Пример: Стрелок произвел выстрел по цели. События А - «Стрелок попал в цель» и В - «Стрелок промахнулся» образуют полную группу событий.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример: Брошена монета. События А - «Выпал герб» и В - «Выпала решка» являются равновозможными.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произошло событие В или нет.

Пример. Два студента одновременно сдают экзамен независимо друг от друга. Это событие совместное и независимое. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того произошло или не произошло событие В.

Пример. Работник получит оплату труда в зависимости от качества её выполнения.

Противоположные события. Два случайные события А и В называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий.

Примеры: студент может сдать или не сдать экзамен, день и ночь.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется множеством элементарных событий.

Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Например, испытание – подбрасывание кубика. Элементарное событие – выпадение грани с числом «5». Сложное событие – выпадение грани с нечётным числом.